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已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=1，且|
a
-k
b
|=
3
|k
a
+
b
|，其中k＞0，
（1）試用k表示
a
•
b
，并求出
a
•
b
的最大值及此時
a
與
b
的夾角為θ的值；
（2）當
a
•
b
取得最大值時，求實數λ，使|
a
+λ
b
|的值最小，并對這一結果作出幾何解釋．
（1）∵|
a
|=|
b
|=1，|
a
-k
b
|=
3
|k
a
+
b
|，
∴
a
2-2k
a
•
b
+k2
b
2=3k2
a
2+6k
a
•
b
+3 
b
2，∴1-2k
a
•
b
+k2=3k2+6k
a
•
b
+3，
∴
a
•
b
=-（ 
k
4
+
1
4k
）．∵
k
4
+
1
4k
≥2×
1
4
=
1
2
，
∴
a
•
b
≤-
1
2
，當且僅當
k
4
=
1
4k
，即k=1時，取等號．
此時，
a
•
b
=-
1
2
=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）當
a
•
b
取得最大值時，
a
•
b
=-
1
2
，|
a
+λ
b
|=
|
a
+λ
b
|2
=
1+2λ•
a
•
b
+λ2
=
1 -λ+λ2
，
故當λ=
1
2
 時，|
a
+λ
b
|的最小值等于
1-
1
2
+
1
4
=
3
2
，
這一結果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當且僅當OC=
1
2
時，對角線OB最短為
3
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=
3
|
a
-
b
|，|
a
|=|
b
|=1，則|
3a
-2
b
|的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°，則|
a
-2
b
|等于
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為45°，求|3
a
-
b
|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=
37
，則a與b的夾角為（　　）
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浙江模擬）已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=2|
b
|≠0，且關于x的函數f（x）=2x3+3|
a
|x2+6
a
•
b
x+5 在實數集R上單調遞增，則向量
a
，
b
的夾角的取值范圍是（　　）

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同步練習冊答案
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