Question

某學生在體育訓練時弄傷了膝關節，醫生給開了一些消炎藥，并叮囑早晚8點各服用一片藥片．現知道該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時從體內濾出該藥的60%；并且如果這種要在體內的殘留量超過386毫克就會產生副作用．問：
（1）該生上午8點第一次服藥，則第2天上午服完藥時，藥在他體內還殘留多少？
（2）若該生長期服用該藥，會不會產生副作用？

Answer 1

分析：（1）由已知中，該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時從體內濾出該藥的60%，我們可設該生第n次服藥后，藥在他體內的殘留量為a_n毫克，由于上午8點第一次服藥，則第2天上午服完藥時共服了3次藥，依次計算出a₁，a₂，a₃的值，即可得到第2天上午服完藥時，藥在他體內還殘留量；
（2）由已知可得第n次服藥后，藥在他體內的殘留量為a_n滿足：a_n=220+4a_n-1，利用綜合法，可得{a_n-

1100

3

}是一個以a₁-

1100

3

為首項，0.4為公比的等比數列，進而可以求出a_n的取值范圍，與386比照后，即可得到答案．

解答：解：（1）設該生第n次服藥后，藥在他體內的殘留量為a_n毫克，
則：a₁=220，a₂=220+a₁×（1-60%）=220×1.4=308
a₃=220+a₂×（1-60%）=220+220×1.4×0.4
=343.2  （4分）
故第二天早間，他第三次服空藥后，藥在他體內的殘留量為343.2毫克 
（2）由a_n=220+4a_n-1得：a_n-

1100

3

=0.4（a_n-1-

1100

3

）（n≥2）
∴{a_n-

1100

3

}是一個以a₁-

1100

3

為首項，0.4為公比的等比數列   
∴a_n-

1100

3

=（a₁-

1100

3

）•（0.4）^n-1＜0
∴a_n＜

1100

3

＜386
即該生長期服用該藥，不會產生副作用

點評：本題考查的知識點是數列的遞推公式，數列的函數特征，數列的應用，其中根據已知條件分析出a_n=220+4a_n-1，是解答本題的關鍵，現時利用綜合求證{a_n-

1100

3

}是等比數列，也是數列中的難點．