Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R ）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象舊否存在兩點(diǎn)，使得此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)“定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱“得出奇偶性，再判斷b，d的值，再有在1處的極值求出a，c．
（Ⅱ）用反證法證明．對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x軸上存在滿足條件的點(diǎn)C（x₀，0），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出不等關(guān)系，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
∵x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

5

，
∴3a+c=0且 a+c=-

2

5

．
解得a=

1

5

，c=-

3

5

．
∴f（x）=

1

5

x3-

3

5

x
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使得結(jié)論成立．
假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則由f′（x）=

3

5

（x²-1）知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為
k₁=

3

5

(

x

2 1

-1)，k₂=

3

5

(

x

2 2

-1)，且

9

25

(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=1             （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

x

2 1

-1≤0，

x

2 2

-1≤0
∴（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）≥0 此與（*）矛盾，故假設(shè)不成立

點(diǎn)評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)奇偶性對應(yīng)的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值以及偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值，考查反證法的使用，考查兩數(shù)之間最值之差最大，為中檔題．