Question

過橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1上一點(diǎn)P(x0，y0)向圓O：x2+y2=4引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，如直線AB與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)．
（1）若

PA

•

PB

=0，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線AB的方程（用x₀，y₀表示）；
（3）求△MON面積的最小值．（O為原點(diǎn)）

Answer 1

（1）∵

PA

•

PB

=0

∴PA⊥PB

∴OAPB的正方形
由

x 20 + y 20 =8 x 20 8 + y 20 4 =1

?

x

20

=

32

4

=8
∴x0=±2

2

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（±2

2

，0）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4
（3）由x0x+y0y=4得M(

4

x0

，0)、N(0，

4

y0

)
S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

|

4

x0

|•|

4

y0

|=8•

1

|x0y0|

∵|x0y0|=4

2

|

x0

2 2

•

y0

2

|≤2

2

(

x 20

8

+

y 20

4

)=2

2

∴S△MON=

8

|x0y0|

≥

8

2 2

=2

2

當(dāng)且僅當(dāng)|

x0

2 2

|=|

y0

2

|時(shí)，S△MONmin=2

2

．