Question

過橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1上一點P(x0，y0)向圓O：x2+y2=4引兩條切線PA、PB、A、B為切點，如直線AB與x軸、y軸交于M、N兩點．
（1）若

PA

•

PB

=0，求P點坐標；
（2）求直線AB的方程（用x₀，y₀表示）；
（3）求△MON面積的最小值．（O為原點）

Answer 1

分析：（1）由題設知OAPB的正方形，由

x 2 0 + y 2 0 =8 x 2 0 8 + y 2 0 4 =1

?

x

2 0

=

32

4

=8，由此能導出P點坐標．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直線方程．
（3）由x0x+y0y=4得M(

4

x0

，0)、N(0，

4

y0

)，知S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

|

4

x0

|•|

4

y0

|=8•

1

|x0y0|

∵|x0y0|=4

2

|

x0

2 2

•

y0

2

|≤2

2

(

x 2 0

8

+

y 2 0

4

)=2

2

，由此能求出△MON面積的最小值．

解答：解：（1）∵

PA

•

PB

=0

∴PA⊥PB

∴OAPB的正方形
由

x 2 0 + y 2 0 =8 x 2 0 8 + y 2 0 4 =1

?

x

2 0

=

32

4

=8
∴x0=±2

2

∴P點坐標為（±2

2

，0）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4
（3）由x0x+y0y=4得M(

4

x0

，0)、N(0，

4

y0

)
S△MON=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

|

4

x0

|•|

4

y0

|=8•

1

|x0y0|

∵|x0y0|=4

2

|

x0

2 2

•

y0

2

|≤2

2

(

x 2 0

8

+

y 2 0

4

)=2

2

∴S△MON=

8

|x0y0|

≥

8

2 2

=2

2

當且僅當|

x0

2 2

|=|

y0

2

|時，S△MONmin=2

2

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．