Question

13．已知函數f（x）=（x²-4）（x-a），a為實數，f′（1）=0，則f（x）在[-2，2]上的最大值是（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{50}{27}$

Answer 1

分析 求導，分析出函數的單調性，進而求出函數的極值和兩端點的函數值，可得函數f（x）在[-2，2]上的最大值．

解答 解：∵函數f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=2x（x-a）+（x²-4），
∵f′（1）=2（1-a）-3=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=（x²-4）（x+$\frac{1}{2}$）=${x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-4x-2$，
f′（x）=3x²+x-4，
令f′（x）=0，則x=-$\frac{4}{3}$，或x=1，
當x∈[-2，-$\frac{4}{3}$），或x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數為增函數；
當x∈（-$\frac{4}{3}$，1）時，f′（x）＜0，函數為減函數；
由f（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{50}{27}$，f（2）=0，
故函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值為$\frac{50}{27}$，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是利用導數求閉區間上的函數的最值，難度中檔．