Question

已知f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）證明函數f（x）在其定義域上是增函數；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)．

Answer 1

分析：（1）令m=x₁，n=-x₂，且-1≤x₁＜x₂≤1，代入條件，根據函數單調性的定義進行判定；
（2）根據函數的單調性，以及函數的定義域建立不等式組，解之即可．

解答：（1）證明：令m=x₁，n=-x₂，且-1≤x₁＜x₂≤1，
代入

f(m)+f(n)

m+n

＞0得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
∵x₁＜x₂
∴f（x₁）＜f（x₂）
按照單調函數的定義，可知該函數在[-1，1]上單調遞增．
（2）由（1）可得原不等式等價于

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

∴0≤x＜

1

4

點評：本題主要考查了函數奇偶性的應用，以及函數單調性的應用，同時考查了不等式組的解法，屬于基礎題．