【題目】已知函數(shù)
.
（1）證明：當(dāng)
時(shí)，
；
（2）若
有極大值，求
的取值范圍；
（3）若在
處取極大值，證明：
.
【答案】（1）見(jiàn)證明 （2）
（3）見(jiàn)證明
【解析】
（1）當(dāng)
時(shí)，
，
，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可證明不等式；
（2）由題設(shè)得
.由
有極大值得
有解，且
.利用極大值定義即可建立a的不等關(guān)系；
（3）由（2）知：當(dāng)
時(shí)，有唯一的極大值點(diǎn)
, 且
，故
，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，
令
，則
.
∴當(dāng)
時(shí)，
，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)，
，單調(diào)遞增.
∴當(dāng)
時(shí)，
.
∴當(dāng)時(shí)，
，在
上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時(shí)，
，即
.
（2）解：由題設(shè)得.由有極大值得有解，且.
令
，則
.由
得
.
∴當(dāng)
時(shí)，
，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)，
，單調(diào)遞增.
∴
.
當(dāng)
，即
時(shí)，
，即
，此時(shí)，在
上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
當(dāng)
，即時(shí)，
∴
，
.
由（1）知：
，即
.
∴存在
，
，使
.
∴當(dāng)
時(shí)，
，即單調(diào)遞增；當(dāng)
時(shí)，
，
即單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)，，即單調(diào)遞增.
∴
是唯一的極大值點(diǎn).
綜上所述，所求
的取值范圍為
.
（3）證明：由（2）知：當(dāng)時(shí)，有唯一的極大值點(diǎn),
且，故，
由（2）知：
.
當(dāng)
時(shí)，
，由（2）知：在上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)
時(shí)，
，即
.
∴當(dāng)時(shí)，
.
綜上所述，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】定義在
上的函數(shù)
，給出下列四個(gè)命題：
①若是偶函數(shù)，則
的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱(chēng)；
②若
，則的圖像關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱(chēng)；
③若
，且
，則的一個(gè)周期為2；
④
與
的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱(chēng)；
其中正確命題的序號(hào)為________
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
，
為
個(gè)不同的冪函數(shù)，有下列命題：
① 函數(shù)
必過(guò)定點(diǎn)
；
② 函數(shù)可能過(guò)點(diǎn)
；
③ 若
，則函數(shù)
為偶函數(shù)；
④ 對(duì)于任意的一組數(shù)
、
、…、
，一定存在各不相同的
個(gè)數(shù)
、
、…、
使得
在
上為增函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F（2，0），且與直線x=-2相切，圓心C的軌跡為E，
（1）求圓心C的軌跡E的方程；
（2）若直線l交E與P，Q兩點(diǎn)，且線段PQ的中心點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），求|PQ|．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，
是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，且
（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.當(dāng)
時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
B.當(dāng)
時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)
C.當(dāng)
時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)
D.當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知三棱柱
中，
，
，
，
，
，
分別為棱
的中點(diǎn)
（1）求證：
（2）求直線
與
所成的角
（3）若
為線段
的中點(diǎn)，
在平面
內(nèi)的射影為
，求
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0），且橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最短距離為
b．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若點(diǎn)M（
，
）在橢圓C上，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線OM相交于點(diǎn)N，且N是線段AB的中點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某企業(yè)為了提高企業(yè)利潤(rùn)，從2014年至2018年每年都對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額
（單位：萬(wàn)元）與年利潤(rùn)增長(zhǎng)量
（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
年利潤(rùn)增長(zhǎng)量 | 6.0 | 7.0 | 9.0 | 11.0 | 12.0 |
（1）記
年利潤(rùn)增長(zhǎng)量
投資金額，現(xiàn)從2014年至2018年這5年中抽出兩年進(jìn)行調(diào)查分析，求所抽兩年都是
萬(wàn)元的概率；
（2）請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程；如果2019年該企業(yè)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)改進(jìn)的投資金額為10萬(wàn)元，試估計(jì)該企業(yè)在2019年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)量為多少？
參考公式：
，
；
參考數(shù)據(jù)：
，
.
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