Question

已知函數,，其中R.

（1）討論的單調性；

（2）若在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

（3）設函數,當時，若，，總有成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）在上單調遞減，在上單調遞增;（2）;（3）.

【解析】

試題分析：（1）先對求導，由于的正負與參數有關，故要對分類討論來研究單調性; （2）先由在其定義域內為增函數轉化為在不等式中求參數范圍的問題，利用分離參數法和基本不等式的知識求出參數的取值范圍;（3）先通過導數研究在的最值，然后根據命題“若，，總有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，從而列出不等式組求出參數的取值范圍.

試題解析：解：（1）的定義域為，且，        1分

①當時，，在上單調遞增；        2分

②當時，由，得；由，得；

故在上單調遞減，在上單調遞增.     4分

（2），的定義域為

               5分

因為在其定義域內為增函數，所以，

而，當且僅當時取等號，所以            8分

（3）當時，，

由得或

當時，；當時，.

所以在上，        10分

而“，，總有成立”等價于

“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值為

所以有                   12分

所以實數的取值范圍是         14分

考點：1、利用導數研究單調性和最值，2、參數的取值范圍問題，3、基本不等式.