Question

（2010•和平區(qū)一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=2，AC=BC=1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）設(shè)AC與平面AC₁M的夾角為θ，求sinθ．

Answer 1

分析：（I）分別以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，可得C、C₁、A、B₁、A₁各點的坐標，從而算出

AM

、

C1M

和

CB1

的坐標，證出

CB1

=

AM

+

C1M

，結(jié)合CB₁?平面AC₁M，即可證出CB₁∥平面AC₁M；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出向量

n

=（2，-2，1）為平面AC₁M的一個法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式算出

n

與

AC

夾角的余弦，結(jié)合直線與平面所成角的性質(zhì)即可得出sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

2

3

．

解答：解：（I）因為CA、CB、CC₁兩兩互相垂直，所以分別以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示
則C（0，0，0），C₁（0，0，2），A（1，0，0），B₁（0，1，2），A₁（1，0，2），
∵M是A₁B₁的中點，∴M（

1

2

，

1

2

，2）
由此可得，

AM

=（-

1

2

，

1

2

，2），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），

CB1

=（0，1，2），
∴

CB1

=

AM

+

C1M

，可得

CB1

∥平面AC₁M
∵CB₁?平面AC₁M，∴CB₁∥平面AC₁M；
（II）設(shè)向量

n

=（x，y，z）為平面AC₁M的一個法向量
則

n • C1M = 1 2 x+ 1 2 y=0 n • AM =- 1 2 x+ 1 2 y+2z=0

，取z=1，得x=2，y=-2，
∴

n

=（2，-2，1）為平面AC₁M的一個法向量
∵

AC

=（-1，0，0），
∴cos＜

n

，

AC

＞=

2×(-1)+(-2)×0+1×0

22+(-2)2+12 • (-1)2+02+02

=

2

3

∵AC與平面AC₁M的夾角為θ，∴sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

2

3

點評：本題在特殊的三棱柱中證明線面平行，并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了利用空間坐標系的方法求空間角和線面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．