Question

20．如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F分別是AB'，BC'的中點．
（Ⅰ）若M為BB'的中點，證明：平面EMF∥平面ABCD；
（II）在（1）的條件下，當正方體的棱長為2時，求三棱錐M-EBF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出ME∥AB，MF∥B′C′∥BC，由此能證明平面EMF∥平面ABCD．
（2）三棱錐M-EBF的體積V_M-EBF=V_B-MEF，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵在正方體ABCD-A'B'C'D'中，
E，F分別是AB'，BC'的中點，M為BB'的中點，
∴ME∥AB，MF∥B′C′∥BC，
∵ME∩MF=M，AB∩BC=B，ME，MF?平面MEF，AB，BC?平面ABCD，
∴平面EMF∥平面ABCD．
解：（2）∵E，F分別是AB'，BC'的中點，M為BB'的中點，
∴ME$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB=1，MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC=1，BM⊥平面MEF，BM=1，
∵AB⊥BC，∴EM⊥MF，
∴S_△MEF=$\frac{1}{2}×ME×MF$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐M-EBF的體積：
V_M-EBF=V_B-MEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△BEF}×BM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

點評 本題考查面面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．