Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）求證：①；

②曲線上的所有點都落在圓內．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求單調區間，只要求得導函數，然后解不等式可得增區間，解不等式可得減區間；（Ⅱ）①要證不等式，只要證，因此可設，求導后研究它的單調性，得最小值，若最小值不小于0，即證；②要證此命題就是要證不等式，為此利用①把放縮，由可得，從而有，代入可證得結論．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，由于，故只需要考慮的單調性

令 則

再令 則

當時，，則單調遞增，又，∴

則 ∴單調遞減 ∴ ∴

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（Ⅱ）①令

則在單調遞減 ∴ 即

②由①得

∴

∴

故曲線上的所有點都落在圓內．