Question

【題目】定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）＝lnx已知方程在區(qū)間[﹣e，3e]上所有的實數(shù)根之和為3ea，將函數(shù)的圖象向右平移a個單位長度，得到函數(shù)h（x）的圖象，，則h（7）＝_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意可知函數(shù)f（x）是一個周期為2e的偶函數(shù)，即可作出函數(shù)f（x）在[﹣e，3e]上的圖象，由方程的根與兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)的關(guān)系可求得的值，再利用二倍角公式化簡函數(shù)，然后根據(jù)平移法則即可求得，從而求得．

因為f（e+x）＝f（e﹣x），所以f（x）關(guān)于x＝e對稱，又因為偶函數(shù)f（x），

所以f（x）的周期為2e.

當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）＝lnx，于是可作出函數(shù)f（x）在[﹣e，3e]上的圖象如圖所示，

方程的實數(shù)根是函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)，

由圖象的對稱性可知，兩個函數(shù)在[﹣e，3e]上有4個交點，且4個交點的橫坐標(biāo)之和為4e，所以4e＝3ea，故a，

因為，

所以，

故.

故答案為：.