Question

（2012•上饒一模）圍棋對局中，執黑棋者先下，執白棋者后下．一次圍棋比賽中，甲乙進入最后的冠軍爭奪戰，決賽規則是三局兩勝制（即三局比賽中，誰先贏得兩局，就獲得冠軍），假定每局比賽沒有平局，且每局比賽由裁判扔硬幣決定誰執黑棋．根據甲乙雙方以往對局記錄，甲執黑棋對乙的勝率為

7

10

，甲執白棋對乙的勝率為

1

2

．
（1）求乙在一局比賽中獲勝的概率；
（2）若冠軍獲得獎金10萬元，亞軍獲得獎金5萬元，且每局比賽勝方獲得獎金1萬元，負方獲得獎金0.5萬元，記甲在決賽中獲得獎金數為X萬元．求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析：（1）根據甲執黑棋對乙的勝率為

7

10

，甲執白棋對乙的勝率為

1

2

，利用互斥事件的概率公式，可求乙在一局比賽中獲勝的概率；
（2）X取值為6，7，12或12.5，求出甲在一局比賽中獲勝概率，從而可求相應取值的概率，即可得到分布列與數學期望．

解答：解：（1）∵甲執黑棋對乙的勝率為

7

10

，甲執白棋對乙的勝率為

1

2

．
∴乙在一局比賽中獲勝的概率為P=

1

2

•

3

10

+

1

2

•

1

2

=

2

5

…（5分）
（2）X取值為6，7，12或12.5，甲在一局比賽中獲勝概率為

3

5

，則
P(X=6)=(

2

5

)2=

4

25

…（6分）P(X=7)=

C

1 2

(

2

5

)2•

3

5

=

24

125

…（7分）
P(X=12)=(

3

5

)2=

9

25

…（8分）P(X=12.5)=

C

1 2

(

3

5

)2•

2

5

=

36

125

…（9分）
∴X的分布列為

X	6	7	12	12.5
P	4 25	24 125	9 25	36 125

…．．（10分）
∴EX=6•

4

25

+7•

24

125

+12•

9

25

+12.5•

36

125

=

1278

125

=10.224…．．（12分）

點評：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．