Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）在數(shù)列{a_n}中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，…，第2^n-1項(xiàng)，按取出順序組成新的數(shù)列{b_n}，寫出數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)b₁，b₂，b₃，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得a_n+1-a_n=2，從而得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．
（Ⅱ）由題意得bn=2ⁿ-1觀察通項(xiàng)公式可知采用分組求和，再分別代入等比數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即數(shù)列a_n是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依題意知：b₁=1，b₂=3，b₃=7
bn=2•2^n-1-1=2ⁿ-1
所以S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=2ⁿ⁺¹-n-2
  即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2

點(diǎn)評(píng)：主要考查等差數(shù)列同項(xiàng)公式的求解，屬于公式的基本運(yùn)用．求數(shù)列的前n項(xiàng)和的關(guān)鍵是求出通項(xiàng)，從而分別利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式代入求值．