Question

（12分）已知等差數列的公差大于0,且是方程的兩根,數列的前項的和為，且．

（1）求數列，的通項公式；

（2）記,求證：；

（3）求數列的前項和．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）見解析；（3） 。

【解析】

試題分析：（1）由已知可得，a₃+a₅= 14， a₃•a₅=45且a₅＞a₃，聯立方程解得a₅，a₃，進一步求出數列{a_n}通項，數列{b_n}中，利用遞推公式b_n= s_n-s_n-1，n≥2

s_{1 ，}n=1

（2）把（1）中求得的a_n和b_n代入c_n=a_nb_n，求得c_n，進而可求得c_n+1-c_n求得結果小于等于0，原式得證．

（3）用錯位相減求數列{c_n}的前n和

解：（1）∵，是方程的兩根，且數列的公差>0，

∴=5，=9，公差∴………3分

又當=1時，有 

當

∴數列{}是首項，公比等比數列，

∴                                …………4分

（2）由（1）知         …………6分

∴

∴                               …………………………8分

（3），設數列的前項和為，

            （1）

       (2)     ………………10分

得：

化簡得：                      ………………………12分

考點：本試題主要考查了等差數列的通項公式和等比數列的通項公式，屬基礎題．

點評：解決該試題的關鍵是利用遞推公式求通項，體現了數學中的轉化思想；一般的，若數列{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，求數列{a_n•b_n}的前n和可采用錯位相減法．