Question

如圖，四棱錐的底面為菱形，PA⊥底面ABCD，E、F分別是AB與PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求證：AF∥平面PEC．

Answer 1

證明：（1）連接AC，因底面ABCD為菱形，故AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC⊥BD，故BD⊥面PAC．∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）取PC的中點(diǎn)K，連接FK、EK．
則FK∥CD，．
又AE∥CD，，

則四邊形AEKF是平行四邊形，∴AF∥EK．
又EK?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．

分析：（1）連接AC，根據(jù)底面ABCD為菱形，則AC⊥BD，而PA⊥平面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BD，再根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥面PAC，PC?平面PAC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PC⊥BD．
（2）欲證AF∥平面PEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面PEC內(nèi)一直線平行即可，取PC的中點(diǎn)K，連接FK、EK．
則FK∥CD，，又AE∥CD，，得到四邊形AEKF是平行四邊形，從而AF∥EK，又EK?平面PEC，AF?平面PEC滿足定理所需條件．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及直線與平面平行的判定，同時(shí)考查了空間想象能力、推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．