Question

如圖，四棱錐的底面為菱形，PA⊥底面ABCD，E、F分別是AB與PD的中點．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求證：AF∥平面PEC．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據底面ABCD為菱形，則AC⊥BD，而PA⊥平面ABCD，根據線面垂直的性質可知PA⊥BD，再根據線面垂直的判定定理可知BD⊥面PAC，PC?平面PAC，根據線面垂直的性質可知PC⊥BD．
（2）欲證AF∥平面PEC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面PEC內一直線平行即可，取PC的中點K，連接FK、EK．
則FK∥CD，FK=

1

2

CD，又AE∥CD，AE=

1

2

CD，得到四邊形AEKF是平行四邊形，從而AF∥EK，又EK?平面PEC，AF?平面PEC滿足定理所需條件．

解答：證明：（1）連接AC，因底面ABCD為菱形，故AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．（4分）
又AC⊥BD，故BD⊥面PAC．∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．（6分）
（2）取PC的中點K，連接FK、EK．
則FK∥CD，FK=

1

2

CD．（8分）
又AE∥CD，AE=

1

2

CD，（10分）
則四邊形AEKF是平行四邊形，∴AF∥EK．（12分）
又EK?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力、推理能力，以及轉化與劃歸的數學思想，屬于基礎題．