Question

已知不過坐標原點O的直線L與拋物線y²=2x相交于A、B兩點，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線L過定點；
②求點E的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：①令直線ty=x-b（b≠0），與拋物線方程y²=2x聯立得：y²-2ty-2b=0，利用韋達定理可得y₁+y₂=2ty₁y₂=-2b，結合OA⊥OB即可求得b的值，從而可證直線L過定點；
②依題意，可知點E的軌跡是以線段OC為直徑的圓除去點O，從而可得點E的軌跡方程．
解答：解：①令直線ty=x-b（b≠0）與拋物線y²=2x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點（給直線方程給分）…（1分）
由得：y²-2ty-2b=0…（2分）
于是，y₁、y₂是此方程的兩實根，由韋達定理得：y₁+y₂=2ty₁y₂=-2b…（3分）
x₁x₂=（ty₁+b）（ty₂+b）=t²y₁y₂+tb（y₁+y₂）+b²=b²…（4分）
又OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0…（5分）
∴b²-2b=0，又b≠0，
∴b=2…（6分）
故直線L：ty=x-2過定點C（2，0）…（8分）
②∵O（0，0），C（2，0），OE⊥CE…（9分）
∴點E的軌跡是以線段OC為直徑的圓除去點O，…（11分）
故點E的軌跡方程為（x-1）²+y²=1（x≠0）…（12分）
說明：直線L的方程設為y=kx+b又沒有討論k不存在的情況扣（2分）；軌跡方程中沒有限制     x≠0扣（1分）．
點評：本題考查恒過定點的直線，考查與直線有關的動點軌跡方程，考查韋達定理的應用，求得b的值是關鍵，也是難點，屬于中檔題．