Question

（2013•順義區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點P在橢圓上，且△PF₁F₂的周長為6．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點P的坐標為（2，1），不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，點P到直線l的距離為d，且M，O，P三點共線．求

12

13

|AB|2+

13

16

d2的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的定義和焦距的定義可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b²=a²-c²解出即可；
（II）設直線l的方程為y=kx+m（m≠0）．與橢圓的方程聯(lián)立，得到判別式△＞0及根與系數(shù)的關系，由中點坐標公式得到中點M的坐標，利用M，O，P三點共線，得到k_OM=k_OP，解得k，再利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到|AB|²及d²，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值

解答：解：（I）由題意得2c=2，2a+2c=6．
解得a=2，c=1，
又b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
當直線l與x軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，點M在x軸上，且與O點不重合，
顯然M，O，P三點不共線，不符合題設條件．
故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0）．
由

y=kx+m 3x2+4y2=12

消去y整理得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．①
則△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
所以點M的坐標為(

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)．
∵M，O，P三點共線，
∴k_OM=k_OP，∴

3m 3+4k2

-4km 3+4k2

=

1

2

，
∵m≠0，∴k=-

3

2

．
此時方程①為3x²-3mx+m²-3=0，
則△=3（12-m²）＞0，得m∈(-2

3

，2

3

)．
x₁+x₂=m，x1x2=

m2-3

3

．
∴|AB|²=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=

13

12

(12-m2)，
又d=

|8-2m|

32+22

=

2|m-4|

13

，
∴

12

13

|AB|2+

13

16

d2=(12-m2)+

(m-4)2

4

=-

3

4

(m+

4

3

)2+

52

3

，
故當m=-

4

3

∈(-2

3

，2

3

)時，

12

13

|AB|2+

13

16

d2的最大值為

52

3

．

點評：熟練掌握橢圓的定義和焦距的定義及b²=a²-c²、直線與橢圓相交問題轉化為把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△＞0及根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、三點共線得到k_OM=k_OP、弦長公式和點到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．本題需要較強的計算能力．