Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點分別為橢圓的右頂點和上頂點，且，右準線的方程為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線交橢圓于另一點，交于點.若以為直徑的圓經過原點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】

(1)由右準線的方程為以及可列出方程組解得即可求出橢圓的方程.

(2) 設的方程為,與橢圓方程聯立,求出;聯立可得,由可知,從而可求出,進而可求直線的方程.

解:(1)設橢圓的焦距為.由題意得,解得.

所以橢圓的標準方程為:.

(2)由題意得直線不垂直于軸,設的方程為

聯立,消得.

又直線過點,則方程必有一根為2,則.

代入直線,得點.聯立,所以.

又以為直徑的圓過原點,所以.

則,解得,所以.

所以直線的方程為或.