某市環保部門對市中心每天環境污染情況進行調查研究，發現一天中環境污染指數
與時刻
（時）的關系為
，
，其中
是與氣象有關的參數，且
，用每天的最大值作為當天的污染指數，記作
.
(1)令
，，求
的取值范圍；
(2)按規定，每天的污染指數不得超過2，問目前市中心的污染指數是否超標？
（1）的取值范圍是
；（2）當
時，污染指數不超標；當
時，污染指數超標.
解析試題分析：（1）從的表達式可知，可以考慮利用基本不等式求的取值范圍，首先討論當當
時，
，而當
時：
，
當且僅當
，即
時取等號，而顯然
，因此的取值范圍是；（2）根據條件結合（1）分析可知，可將污染指數轉化為與有關的函數
，利用（1）中求得的的取值范圍，可知
，顯然
在
上單調遞減，在
上單調遞增，∴的最大值只可能在或
時取到，通過比較可知
，從而若市中心的污染指數未超標，則等價于
，解關于的不等式組
，從而可以得到相應結論：當時，污染指數不超標；當時，污染指數超標.
試題解析：（1）當時：， 1分
當時：
， 4分
當且僅當，即時取等號， 5分 而顯然，
綜上所述，的取值范圍是； 6分
（2）記，
，則
， 8分
顯然在上單調遞減，在上單調遞增，∴的最大值只可能在或時取到，
而
，∵，∴
，
∴
，∴， 11分
由得
， 13分
故當時，污染指數不超標；當時，污染指數超標. 14分
考點：1.基本不等式求函數值域；2.分段函數的綜合運用.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知二次函數
+
的圖象通過原點，對稱軸為
，
．
是
的導函數，且
．
（1）求的表達式（含有字母
）；
（2）若數列
滿足
，且
，求數列的通項公式；
（3）在（2）條件下，若
，
，是否存在自然數
，使得當
時
恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點
為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設小圓弧所在圓的半徑為
，圓心角為
（弧度）．
（1）求關于的函數關系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為
，求關于的函數關系式，并求出為何值時，取得最大值？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（12分）（2011•福建）設函數f（θ）=
，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若點P的坐標為
，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若點P（x，y）為平面區域Ω：
上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f（θ）的最小值和最大值．
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（
）．
的定義域和值域均是
，求實數
的值；
，
，總有
，求實數
定義域為
．
，求實數
的取值范圍；
在
上恒成立，求實數
和
是方程
的兩個實根，不等式
對任意實數
恒成立，則
的取值范圍是