Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且僅有唯一的實數x滿足f（x）≤0．
（1）在數列{a_n}中，滿足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通項；
（2）在數列{a_n}中依次取出第1項、第2項、第4項、…第2^n-1項…組成新數列{b_n}，求新數列的前n項和T_n；
（3）設cn=

n

anan+1

，求數列{c_n}的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的圖象與性質，可得出△=a²-4a=0，解出a，再利用數列中a_n與 Sn關系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求出{a_n}的通項．
（2）由（1）可以求出a_n=2n-5，從而b_n=2×2^n-1-5=2ⁿ-5，利用公式法及分組法求出T_n；
（3）c_n=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

利用4n+

15

n

單調性解決c_n的最值．

解答：解：（1）∵f（x）≤0有且僅有唯一的實數x滿足，
∴△=a²-4a=0，∴a=0或a=4．
∵a≠0，∴a=4．
S_n=f（n）-4=n²-4n，
當n=1時，a₁=S₁=-3，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，且對n=1也符合，∴a_n=2n-5．
（2）b_n=2×2^n-1-5=2ⁿ-5
∴T_n=（2+4+…+2ⁿ）-5n
=

2(1-2n)

1-2

-5n
=2ⁿ⁺¹-5n-2．
 （3）cn=

n

anan+1

=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

c1=

1

3

，c₂=-2，
當n≥3時，4（n+1）+

15

n+1

-（4n+

15

n

）=4-

15

n(n+1)

＞0，4n+

15

n

單調遞增，且4n+

15

n

-16＞0，
數列{c_n}的最大值為c₃=1最小值c₂=-2．

點評：本題考查二次函數的圖象與性質，數列通項公式求解，數列公式法、分組法求和，數列的函數性質．考查推理論證、計算能力，分類討論的思想．