Question

（05年重慶卷文）（13分）

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上

一點，PE⊥EC. 已知求

   （Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；

   （Ⅱ）二面角E―PC―D的大小.

 

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE

是PE在面ABCD內的射影，由三垂直線定理的逆定理知

EC⊥DE，因此DE是異面直線PD與EC的公垂線.

設DE=x，因△DAE∽△CED，故（負根舍去）.

從而DE=1，即異面直線PD與EC的距離為1.

（Ⅱ）過E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，連接EH. 因PD⊥底面，

故PD⊥EG，從而EG⊥面PCD.

因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC內的射影，由三垂線定理知EH⊥PC.

因此∠EHG為二面角的平面角.

在面PDC中，PD=，CD=2，GC=

因△PDC∽△GHC，故，

又

故在

即二面角E―PC―D的大小為

解法二：

（Ⅰ）以D為原點，、、分別為x、y、

z軸建立空間直角坐標系.

由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，

C（0，2，0）設

  由，

即  由，

又PD⊥DE，故DE是異面直線PD與CE的公垂線，易得，故異面直線PD、

CE的距離為1.

（Ⅱ）作DG⊥PC，可設G（0，y，z）.由得

即作EF⊥PC于F，設F（0，m，n），

則

由，

又由F在PC上得

因故平面E―PC―D的平面角的大小為向量的夾角.故  即二面角E―PC―D的大小為