Question

如圖，四邊形中（圖1），，中點為，將圖1沿直線折起，使二面角為（圖2）

 

（1）過作直線平面，且平面=，求的長度。

（2）求直線與平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：因為，中點為，連接AF，EF．

∵∴AF⊥BD，

∵，∴DB²+DC²=BC²，∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，

∵平面，DB=2，∴EF為△BCD的中位線，∴EF∥CD，且EF=CD，

∴EF⊥BD，EF=，

∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，∠AFE=60°．∴△ABD為等腰直角三角形，∴AF=BD=1，

∴AE=，在直角三角形DFE中，.

(2)以F為原點，FB所在直線為x軸，FE所在直線為y軸，平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則由（1）及已知條件可知B（1，0，0），E(0，，0)，A(0，，)，

D（-1，0，0），C（-1，1，0）,

則=(1,-，-) ，  =(0，-1,0)，=(-1,-，-)，。

設平面ACD的法向量為

=（x，y，z），

則，

∴，y=0，

令x=，則z=-2，∴=(，0，-2)，故由公式可得直線與平面所成角的正弦值為。

考點：三棱錐的幾何特征，平行關系，垂直關系，角的計算。

點評：中檔題，立體幾何問題中，平行關系、垂直關系，角、距離、面積、體積等的計算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計算”。通過建立空間直角坐標系，利用空間向量，可簡化證明過程。