Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過軸正方向上一點任作一直線,與拋物線相交于兩點,一條垂直于軸的直線分別與線段和直線交于點.

(1)若,求的值;

(2)若為線段的中點,求證:直線與該拋物線有且僅有一個公共點.

(3)若直線的斜率存在,且與該拋物線有且僅有一個公共點,試問是否一定為線段的中點?說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析（3）是的中點.見解析

【解析】

（1）聯立方程利用韋達定理得到，，再根據，計算得到答案.

（2）計算.，設在上, 且滿足，故, 與聯立得, 得到答案.

（3）設，計算得到，，. 與聯立得到得到答案.

(1) 設，與聯立, 得. 故

從而，根據解得到得或,

舍去負值, 得.

(2) , 故..

設在上, 且滿足.

, 故直線的方程為,

而.

故, 與聯立得,

故直線與該拋物線有且僅有一個公共點.

(3) 設, 這里, 由(2)知過的與有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為.與相交, 得.

故. , 所以. 與聯立,

得, 即, 故.

這樣, 即是的中點.