Question

【題目】已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x1 ， x2∈[0，3]，且x1≠x2時，都有 ．給出下列命題： ①f（3）=0；
②直線x=﹣6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在[﹣9，﹣6]上為增函數；
④函數y=f（x）在[﹣9，9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①：對于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，則f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（3）=0． ②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（﹣x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），
所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直線x=﹣6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸．
③：當x1 ， x2∈[0，3]，且x1≠x2時，都有
所以函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，
因為f（x）是R上的偶函數，所以函數y=f（x）在[﹣3，0]上為減函數
而f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[﹣9，﹣6]上為減函數．
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，
所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0
函數y=f（x）在[﹣9，9]上有四個零點．
所以答案是：①②④．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的零點的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．