Question

【題目】已知函數 ，把方程f（x）=x的根按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為（ ）
A. （n∈N*）
B.an=n（n﹣1）（n∈N*）
C.an=n﹣1（n∈N*）
D.an=2n﹣2（n∈N*）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：若0＜x≤1，則﹣1＜x﹣1＜0，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1 ， 若1＜x≤2，則0＜x﹣1≤1，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1
若2＜x≤3，則1＜x﹣1≤2，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2
若3＜x≤4，則2＜x﹣1＜3，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3
以此類推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），則f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，
下面分析函數f（x）=2x的圖象與直線y=x+1的交點
很顯然，它們有兩個交點（0，1）和（1，2），
由于指數函數f（x）=2x為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．
然后①將函數f（x）=2x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位即得到函數f（x）=2x﹣1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點（0，0）．
即當x≤0時，方程f（x）﹣x=0有且僅有一個根x=0．
②取①中函數f（x）=2x﹣1和y=x圖象﹣1＜x≤0的部分，再同時向上和向右各平移一個單位，
即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的圖象，顯然，此時它們仍然只有一個交點（1，1）．
即當0＜x≤1時，方程f（x）﹣x=0有且僅有一個根x=1．
③取②中函數f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續按照上述步驟進行，
即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，顯然，此時它們仍然只有一個交點（2，2）．
即當1＜x≤2時，方程f（x）﹣x=0有且僅有一個根x=2．
④以此類推，函數y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交點依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．
綜上所述方程f（x）﹣x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為
0，1，2，3，4，…
其通項公式為an=n﹣1；
故選C．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．