Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為4，側棱長為6，Q為BB₁的中點，P∈DD₁，M∈AB，N∈CD且AM=1，DN=3，（I）若PD=

3

2

，證明：（I）D₁Q∥面PMN；
（II）若P為DD₁的中點，求面PMN與面AA₁D₁D所成二面角的大小；
（III）在（II）的條件下，求點Q到面PMN的距離．

Answer 1

分析：（I）設DD₁中點為E，連接BE，連接BD交MN于R．根據棱柱的性質，可以證出四邊形QBED₁是平行四邊形，得到D₁Q∥BE；用△DRN與△BRM全等，可以證出R是BD中點，利用三角形BDE的中位線，證出PR∥BE，從而得到PR∥D₁Q．最后用線面平行的判定定理，可證出D₁Q∥面PMN；
（II）分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖坐標系，然后求出點P、M、N的坐標，可得向量

PM

、

MN

的坐標，然后再用向量數量積的方法，通過解方程組得到平面PMN的一個法向量

n1

=(1，2，2)，再找到平面AA₁D₁D一個的法向量

n2

=(0，1，0)，最后求出向量

n1

，

n2

的夾角，從而得到面PMN與面AA₁D₁D所成二面角的大小；
（III）在（II）的坐標系下，求出由點Q指向面PMN內點P的向量

QP

的坐標，結合面PMN的一個法向量

n1

=(1，2，2)，利用空間點到平面距離的公式，可求得Q到面PMN的距離．

解答：解：（I）設DD₁中點為E，連接BE，連接BD交MN于R
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴D₁E∥BQ且D₁E=BQ
∴四邊形QBED₁是平行四邊形，可得D₁Q∥BE
在正方形ABCD中，BM∥DN且BM=DN=3
∴△DRN≌△BRM⇒DR=BR
∵PD=

3

2

=

1

2

DE
∴△DBE中，PR是中位線
∴PR∥BE⇒PR∥D₁Q
∵PR?平面PMN，D₁Q?平面PMN，
∴D₁Q∥面PMN；
（II）分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖坐標系，
則P（0，0，3），M（4，1，0），N（0，3，0）
設平面PMN的法向量為

n1

=(x，y，z)，根據垂直向量的數量積為零，
得

n1 • PM =4x+y-3z=0 n1 • MN =-4x+2y=0

，取x=1，得y=z=2
∴

n1

=(1，2，2)
∵平面AA₁D₁D的法向量為

n2

=(0，1，0)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1| |n2|

=

1×0+2×1+2×0

12+22+22 •1

=

2

3

∴面PMN與面AA₁D₁D所成二面角的大小為arccos

2

3

（III）∵P（0，0，3），Q（4，4，3）
∴

QP

=(-4，-4，0)
根據點到平面距離公式，得Q到面PMN的距離為
d=

|QP • n1|

|n1|

=|

-4×1+(-4)×2+0×2

3

| =3
所以點Q到面PMN的距離為3．

點評：本題以求二面角的大小和求點到平面的距離為例，著重考查了線面平行的證明、空間平面與平面所成角的公式和空間點到平面距離公式等知識點，屬于難題．