Question

已知曲線f（x）=x（a+b•lnx）過點P（1，3），且在點P處的切線恰好與直線2x+3y=0垂直．
求（Ⅰ） 常數a，b的值；（Ⅱ）f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數f（x）=x（a+b•lnx）進行求導，根據P處切線斜率是

3

2

，可得出即a+b=

3

2

；然后根據曲線f（x）=x（a+b•lnx）過點P（1，3），求出a、b的值；
（Ⅱ）首先對函數f（x）進行求導，然后判斷導函數的正負，即可求出f（x）的單調區間．

解答：解　（Ⅰ）據題意f（1）=3，所以a=3（1）
f′(x)=(a+blnx)+x•b•

1

x

=a+b+blnx，
又曲線在點P處的切線的斜率為

3

2

，
∴f'（1）=3，即a+b=

3

2

（2）
由（1）（2）解得a=3 ，b=-

3

2

．
（Ⅱ）f′(x)=

3

2

-

3

2

lnx=

3

2

(1-lnx)．
∴當x∈（0，e）時，f'（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調區間為（0，e），（e，+∞），在區間（0，e）上是增函數，在區間（e，+∞）上是減函數．

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間，此題難度不大．