Question

已知y=f（x）是定義域為[-6，6]的奇函數，且當x∈[0，3]時是一次函數，當x∈[3，6]時是二次函數，又f（6）=2，當x∈[3，6]時，f（x）≤f（5）=3．求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根據當x∈[0，3]時是一次函數，當x∈[3，6]時是二次函數，又f（6）=2，當x∈[3，6]時，f（x）≤f（5）=3，可先求出x∈[0，3]，x∈[3，6]時的解析式，再利用f（x）為奇函數，可求出x∈[-3，0]，x∈[-6，-3]時的解析式，從而得到f（x）在R上的解析式．

解答：解：因為f（x）為奇函數，所以f（0）=-f（0），f（0）=0，
當x∈[0，3]時，設f（x）=kx+b，則b=0．
當x∈[3，6]時，由題設，當x∈[3，6]時，f（x）≤f（5）=3，可設f（x）=-a（x-5）²+3．
因為f（6）=2，所以-a+3=2，所以a=1．
所以x∈[3，6]時f（x）=-（x-5）²+3=-x²+10x-22，
所以f（3）=-1，所以3k=-1，所以k=-

1

3

．
∴當x∈[0，3]時，f（x）=-

1

3

x
∵f（x）為奇函數
∴x∈[-3，0]時，f（x）=-f（-x）=-

1

3

x，
當x∈[-6，-3]時，f（x）=-f（-x）=x²+10x+22．
所以f（x）=

x2+10x+22，x∈[-6，-3] - 1 3 x，x∈[-3，3] -x2+10x-22，x∈[3，6]

點評：本題重點考查函數的解析式，考查函數的奇偶性，解題的關鍵是求出x∈[0，3]，x∈[3，6]時的解析式．