Question

證明：若函數f(x)在點x₀處可導，則函數f(x)在點x₀處連續.

Answer 1

分析：要證明f(x)在點x₀處連續，必須證明f(x)=f(x₀).根據函數在點x₀處可導的定義，逐步實現兩個轉化：一是趨向的轉化；二是形式（變為導數定義式）的轉化.

證法一：設x=x₀+Δx,則當x→x₀時，Δx→0.f(x)=f(x₀+Δx)

=［f(x₀+Δx)-f(x₀)+f(x₀)］

=［·Δx+f(x₀)］

=·Δx+f(x₀)

=f′(x₀)·0+f(x₀)=f(x₀).

∴函數f(x)在點x₀處連續.

證法二：∵函數f(x)在點x₀處可導，

∴在點x₀處有

［f(x)-f(x₀)］=Δy=(·Δx)

=·Δx=f′(x₀)·0=0.

∴f(x)=f(x₀).

∴函數f(x)在點x₀處連續.