【題目】在平面直角坐標系
中，已知中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓
的右焦點為
，且離心率
，過點
且斜率為
的直線
交橢圓于點
，
兩點，
為
的中點，過作直線的垂線
，直線
與直線相交于點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：點在一條定直線上；
（3）當
最大時，求
的面積.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
（1）由焦點坐標、離心率和橢圓
關系可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；
（2）設
，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，進而得到
中點
的坐標，進而得到直線
方程，與直線
方程聯立后可求得
點坐標，知點橫坐標為定值
，從而得到結論；
（3）利用直線
和
的斜率可結合兩角和差正切公式表示出
，利用基本不等式可求得的最大值，由取等條件可得此時
的值和點坐標；利用弦長公式和點到直線距離公式分別求得三角形的底和高，進而得到所求面積.
（1）
橢圓
的右焦點為
，
.
又
，
，
.
橢圓的標準方程為：.
（2）設
，
，
中點
，直線
：
，
聯立方程組
，化簡得：
，
，
，
將
代入直線的方程，得點的坐標為
，
，直線的方程為
.
直線過橢圓的右焦點
且與直線垂直，直線的方程為
.
解方程組
得：
，
點在定直線
上.
（3）設直線的傾斜角為
，直線的傾斜角為
.
由（2）可知：
，
.
.
當且僅當
，即
時取最大值，此時
最大.
此時直線方程為
，點為
.
由（2）可得：
，
，
，
弦長
，到直線的距離
，
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第
條的相關規定：機動車行經人行道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”《中華人民共和國道路交通安全法》第
條規定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣
分，罰款
元的處罰.下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的
個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：
月份 |
|
|
|
|
|
不“禮讓斑馬線”駕駛員人數 |
|
|
|
|
|
（1）請利用所給數據求不“禮讓斑馬線”駕駛員人數
與月份
之間的回歸直線方程
，并預測該路口
月份的不“禮讓斑馬線”駕駛員人數；
（2）若從表中
月份和
月份的不“禮讓斑馬線”駕駛員中，采用分層抽樣方法抽取一個容量為
的樣本，再從這人中任選
人進行交規調查，求抽到的兩人恰好來自同一月份的概率.
參考公式：
，
.
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，
底面，
，點E是
的中點，點F在邊
上移動.
（Ⅰ）若F為中點，求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）若二面角
的余弦值等于
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別是
，
，
，
是其左右頂點，點
是橢圓
上任一點，且
的周長為6，若
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點
且斜率不為0的直線交橢圓于
，
兩個不同點，證明：直線
與
的交點在一條定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電子公司新開發一電子產品，該電子產品的一個系統G有3個電子元件組成，各個電子元件能否正常工作的概率均為
，且每個電子元件能否正常工作相互獨立.若系統C中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為500元.
(1)求系統不需要維修的概率；
(2)該電子產品共由3個系統G組成，設E為電子產品需要維修的系統所需的費用，求
的分布列與期望;
(3)為提高G系統正常工作概率，在系統內增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為
，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則C可以正常工作，問:滿足什么條件時，可以提高整個G系統的正常工作概率?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若無窮數列
滿足：
，且對任意
，
(s，k，l，
)都有
，則稱數列為“T”數列.
（1）證明：正項無窮等差數列是“T”數列；
（2）記正項等比數列
的前n項之和為
，若數列
是“T”數列，求數列公比的取值范圍；
（3）若數列
是“T”數列，且數列的前n項之和
滿足
，求證：數列是等差數列.
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