Question

在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別在B B₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求證：A₁C⊥平面AEF；

（2）若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等．

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小．（用反三角函數(shù)值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

證明： （1）因為，所以在平面上的射影為． 由，，得． 同理可證． 因為，， 所以． [解]（2）過作的垂線交．因為，所以． 設所成的角為，則即為平面與平面所成的角． 由已知，計算得． 如圖建立直角坐標系，則得點 ． 因為與所成的角為，所以， ． 由定理知，平面與平面所成角的大小為．