Question

定義：一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是側面BCC₁B₁內一動點，若點P到直線C₁D₁的距離是點P到平面ABCD的距離的

1

2

倍，則動點P的軌跡所在的曲線類型是（　　）

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

Answer 1

分析：利用新定義，結合長方體，將點P到直線C₁D₁的距離是點P到平面ABCD的距離的

1

2

倍，轉化為側面BCC₁B₁中，動點P到定點C₁的距離等于點P到直線BC距離的

1

2

倍，根據橢圓的定義，即可判斷．

解答：解：由題意，連接PC₁，過P作PE⊥BC
∵平面ABCD⊥平面BCC₁B₁，PE⊥BC，平面ABCD∩平面BCC₁B₁=BC
∴PE⊥平面ABCD
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，PC₁?平面BCC₁B₁，
∴PC₁⊥D₁C₁
∵點P到直線C₁D₁的距離是點P到平面ABCD的距離的

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2

倍，
∴PC₁=

1

2

PE
即側面BCC₁B₁中，動點P到定點C₁的距離等于點P到直線BC距離的

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2

倍，
∴動點P的軌跡所在的曲線類型是橢圓
故選B．

點評：本題以新定義為載體，考查橢圓的定義，解題的關鍵是將已知條件轉化為側面BCC₁B₁中，動點P到定點C₁的距離等于點P到直線BC距離的

1

2

倍．