Question

已知A、B是圓x²+y²=4上滿足條件的兩個點，其中O是坐標原點，分別過A、B作x軸的垂線段，交橢圓x²+4y²=4于A₁、B₁點，動點P滿足，
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)S₁和S₂分別表示△PAB和△B₁A₁A的面積，當(dāng)點P在x軸的上方，點A在x軸的下方時，求S₁+S₂的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)，
則， ①    ， ②
從而，
由于，所以，進而有，③
根據(jù)，可得，
即，
由④²+4×⑤²，并結(jié)合①②③得


，
所以動點Ｐ的軌跡方程為；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），
所以直線AB的方程為，
即，
從而點到直線AB的距離為


，
又因為，
所以，
而，
所以，
由①+②-2×③得，
從而有，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，
即的最大值為2。