Question

已知向量

a

=(sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)(x∈R)，若函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）若x∈[0，π]，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變形即可化為f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，再根據(jù)求周期的公式T=

2π

|ω|

即可求出；
（2）根據(jù)x的取值范圍求出2x-

π

4

的范圍，求出使six(2x-

π

4

)取得最大值的x的值，即使函數(shù)f（x）取得最大值的x的值；
（3）根據(jù)函數(shù)y=sinx的圖象知，在區(qū)間[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減，只要把f（x）中的(2x-

π

4

)看做一個(gè)整體求出即可．

解答：解：∵向量

a

=(sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)(x∈R)，
∴f(x)=

a

•

b

=sinxcosx+sin2x=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

sin2x-

2

2

cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

．
（1）由上面f（x）的表達(dá)式可知：f（x）的最小正周期=

2π

2

=π；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，∴當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時(shí)，sin(2x-

π

4

)=1，f（x）取得最大值

2 +1

2

；
（3）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
由y=sinx的圖象知，在區(qū)間[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減，
而[-

π

4

，

7π

4

]∩[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z）=[

π

2

，

3π

2

]，
由

π

2

≤2x-

π

4

≤

3π

2

，解得

3π

8

≤x≤

7π

8

．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

3π

8

，

7π

8

]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)的恒等變形及三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．