Question

設動點P（x，y）（x≥0）到定點的距離比到y軸的距離大．記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設圓M過A（1，0），且圓心M在P的軌跡上，BD是圓M 在y軸的截得的弦，當M 運動時弦長BD是否為定值？說明理由；
（Ⅲ）過作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S，求四邊形面GRHS的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由動點P（x，y）（x≥0）到定點的距離比到y軸的距離大，知動點P（x，y）為以為焦點，直線為準線的拋物線，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設圓心，半徑，圓的方程為．由此能導出當M運動時弦長BD為定值．
（3）設過F的直線方程為，G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）由，得，由此能求出四邊形GRHS的面積的最小值．
解答：解：（1））∵動點P（x，y）（x≥0）到定點的距離比到y軸的距離大，
∴動點P（x，y）為以為焦點，直線為準線的拋物線，
∴點P的軌跡方程為y²=2x．
（2）設圓心，半徑，
圓的方程為，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），
∴BD=2
故弦長BD為定值2．
（3）設過F的直線方程為，
G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由，得，
由韋達定理得，

同理得RS=2+2k²，
∴四邊形GRHS的面積．
故四邊形面GRHS的最小值為8．
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，探索弦長是否為定值，求四邊形面積的最小值．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．