Question

3．若函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x≤1\\ x-1，x＞1\end{array}\right.$，則滿足方程f（a+1）=f（a）的實數a的值為-$\frac{1}{2}$，或$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x≤1\\ x-1，x＞1\end{array}\right.$，分類討論滿足方程f（a+1）=f（a）的實數a的值，綜合可得答案．

解答 解：∵函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x≤1\\ x-1，x＞1\end{array}\right.$，f（a+1）=f（a）
當a≤-1或a≥1，時f（a+1）≠f（a）；
當-1＜a＜0，即0＜a+1＜1時，由f（a+1）=f（a）得-（a+1）²+1=-a²+1，
解得$a=-\frac{1}{2}$；
當a=0，即a+1=1時，f（a+1）=0≠f（a）=1；
當0＜a＜1即1＜a+1＜2時，由f（a+1）=f（a）得（a+1）-1=-a²+1，
解得$a=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，$a=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$（舍去）；
綜上：$a=-\frac{1}{2}$或$a=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$，或$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數求值，分類討論思想，難度中檔．