Question

【題目】已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線（，）與橢圓C交于兩點A、B，點D滿足，經過點D及點的直線的斜率為，求證：.

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設橢圓C的標準方程為（a＞b＞0），根據a2=b2+c2，橢圓C過點（0，1），離心率為，即可求得橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）由題意知點D為線段AB的中點，設A（x1，y1），B（x2，y2），G（xD，yD），由題意知xD=﹣4kyD，，從而求出，進而得到，由此可知．

（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，且.

由題意可知：，.所以.

所以，橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）方法一： ，點D為線段AB的中點

設 ，

，∴

由，得，

∵，

∴，

，∴．

方法2： ，點D為線段AB中點，

設 ，，∴，

由，得，

∵，∴，

，∵，，∴．

方法3：由，得，

令，得，

設，

，點D為線段AB的中點，

設，，

∵，∴，

，

∵，，∴．