如下圖，過曲線
：
上一點
作曲線的切線
交
軸于點
，又過
作 軸的垂線交曲線于點
，然后再過作曲線的切線
交軸于點
，又過
作軸的垂線交曲線于點
，
，以此類推，過點
的切線
與軸相交于點
，再過點
作軸的垂線交曲線于點
（
N
）．
(1) 求
、
及數列
的通項公式；(2) 設曲線與切線及直線
所圍成的圖形面積為
，求的表達式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列
的前
項和為
，求證：
N
.
(1) 
，
，
；(2) 
；(3)見解析.
解析試題分析：(1)利用導數求直線切線和切線的方程，從而易得
的值，再得直線的方程，知點
在直線上，所以
，既得通項公式；(2)觀察圖形利用定積分求表達式；(3)分別求得
及
表達式，再用數學歸納法、二項式定理及導數的方法證明即可.
試題解析：(1) 由
，設直線的斜率為
，則
.
∴直線的方程為
.令
，得， 1分
∴
， ∴
. ∴
.
∴直線的方程為
.令，得. 2分
一般地，直線的方程為
，
由于點在直線上，∴. 3分
∴數列
是首項為
，公差為的等差數列.∴. 4分
（2）
. 6分
（3）證明：
, 8分
∴
，
.
要證明，只要證明
，即只要證明
. 9分
證法1：（數學歸納法）
①當
時，顯然
成立；
②假設
時，
成立，則當
時，
，
而
，
，
，時，也成立，由①②知不等式
對一切
都成立. 14分
證法2：
.
所以不等式對一切都成立. 14分
證法3:令
,則
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數，e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數a的值；(2)若存在x使不等式
>
成立，求實數m的取值范圍；
(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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.
時，求函數
的單調區間；
時，函數
圖象上的點都在
所表示的平面區域內，求實數
的取值范圍．
.
的極值，并證明：若
有
； 
，且
，
，證明：
，
，由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；
，則
.
．
時，對任意
R，存在
R，使
，求實數
的取值范圍；
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍．
是函數
的兩個極值點．
，
，求函數
的解析式；
，求實數
的最大值；
，若
，且
，求函數
在
內的最小值．(用
表示)
(其中
).
時,求函數
的單調區間；
時,求函數
上的最大值
.
（
為自然對數的底數）
在點
處的切線平行于
軸，求
的值；
的極值；
時，若直線
與曲線
的最大值.
，當
時，取得極大值
；當
時，取得極小值．
、
、
的值;
在