Question

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F₁（一3,0)，一條漸近線的方程是
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若以k（k≠0)為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MN的
垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

Answer 1

(1)  ；(2)

試題分析：(1)因為中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F₁（一3,0)，一條漸近線的方程是，兩個條件即可求出雙曲線的方程.
(2)依題意可得通過假設直線的方程，聯立雙曲線方程消去y，即可得到一個關于x的二次方程，運用韋達定理以及判別式要大于零，即可寫出線段MN的中垂線的直線方程，從而求出直線與兩坐標軸的交點，即可表示出所求的三角形的面積，從而得到一個等式結合判別式的關系式，即可得到結論.
試題解析：（1）設雙曲線的方程為，
由題設得  解得，所以雙曲線的方程為；
（2）設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組，將①式代入②式，得，
整理得，此方程有兩個不等實根，于是，
且，
整理得.③ 由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足：
，，從而線段的垂直平分線的方程為，此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，
由題設可得，整理得，，
將上式代入③式得，整理得，，解得或， 所以的取值范圍是．