Question

已知函數f（x）=

1

4

x⁴+

2

3

x³+ax²-2x-2在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（2^x）=m有三個不同的實數解，求實數m的取值范圍；
（3）若函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與x軸無交點，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，x=1取得極小值從而有f′（1）=0，代入可求a；
（2）由關于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數解，?關于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數解，?y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點；
（3）根據函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，則f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，構造關于P的不等式組，解不等式組求出實數p的取值范圍．

解答：解：（1）由函數f（x）=

1

4

x⁴+

2

3

x³+ax²-2x-2在區間[-1，1]上單調遞減，在區間[1，2]上單調遞增，
故x=1取得極小值，∴f′（1）=0
∵f′（x）=x³+2x²+2ax-2
∴f′（1）=1+2+2a-2=0，解得a=-

1

2

；
（2）由（1）知f（x）=

1

4

x⁴+

2

3

x³-

1

2

x²-2x-2，
∴f′（x）=x³+2x²-x-2=（x+1）（x-1）（x+2），
令f′（x）=0得x=-1，x=1，x=-2

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	減	極小值	增	極大值	減	極小值	增

所以函數f（x）有極小值f（1）=-

43

12

，f（-2）=-

4

3

，極大值f（-1）=-

11

12

，
因關于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數解，令2^x=t（t＞0）
即關于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數解，
即y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點．
而y=f（t）的圖象與y=f（x）的圖象一致．
又f（0）=-2由圖可知-

4

3

＜m＜-

11

12

；
（3）∵函數y=log₂[f（x）+p]的真數部分為f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函數y=log2[f（x）+p]的圖象與x軸無交點，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值為f（-1）=-

5

12

，即f（x）≤-

5

12

，
所以f（x）+p≤p-

5

12

，
，要使f（x）+p≠1，只有p-

5

12

＜1，才能滿足題意，解之得，p＜

17

12

，
又由f（x）+p＞0，即p＞

5

12

，
故p的范圍是

5

12

＜p＜

17

12

．

點評：本題主要考查了函數的導數與函數單調性及函數的極值之間的關系的應用，函數與方程之間的相互轉化的思想的應用．