Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點為F（1，0），點P是橢圓C上一動點，若動點P到點的距離的最大值為b²．
（1）求橢圓C的方程，并寫出其參數方程；
（2）求動點P到直線l：x+2y-9=0的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點坐標，可得c，再由橢圓上的點與焦點的距離最大值為a+c，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程和參數方程；
（2）設點P坐標為$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）（θ∈R）$，運用點到直線的距離公式，以及兩角和的正弦公式，化簡可得距離d，再由正弦函數的值域，可得最小值．

解答 解：（1）由題意右焦點為F（1，0），點P是橢圓C上一動點，
若動點P到點的距離的最大值為b²．
有：$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+c={b^2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）．
（2）設點P坐標為$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）（θ∈R）$，
則P到直線l：x+2y-9=0的距離
$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-9|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-9|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{9-4sin（θ+\frac{π}{6}）}}{{\sqrt{5}}}$，
∴當$sin（θ+\frac{π}{6}）=1$，即θ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z時，${d_{min}}=\frac{9-4}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，
∴動點P到直線l：x+2y-9=0的距離的最小值為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用焦點坐標和橢圓上的點與焦點的距離的最值，考查橢圓參數方程的運用，以及點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．