Question

（1）已知函數f(x)=x+

4

x

，(x≠0)請判斷并證明函數在（2，+∞）上的單調性．
（2）求值：(lg2)2+

4

3

log1008+lg5•lg20+lg25+

3	82

+0.027-

2

3

×(-

1

3

)-2．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數的單調性，再由定義法證明函數單調性的步驟進出證明，注意變形時主要利用通分；
（2）根據指數冪和對數運算性質進行化簡求值，主要利用了lg2+lg5=0求值．

解答：解：（1）函數f(x)=x+

4

x

，(x≠0)在（2，+∞）上是增函數，
證明如下：設x₁＞x₂＞2，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-（x₂+

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-4 )

x1x2

∵x₁＞x₂＞2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f(x)=x+

4

x

，(x≠0)在（2，+∞）上是增函數．
（2）原式=(lg2)2+2lg 2+lg5•(lg2+1)+2lg5+4+0.3-

2

3

×3 ×9
=（lg2）²+2lg2+lg5•lg2+lg5+2lg5+104
=（lg2）²+lg5•lg2+lg5+106=107．

點評：本題考查了函數單調性的判斷證明、以及指數和對數運算性質的應用，定義法證明函數單調性的步驟：設值、作差、變形、判斷符號、下結論；求值常用的方法是將根式化為分數指數冪的形式，指數式和對數式互化，以及將真數拆成幾個數的積或商的形式．