Question

 數列{a_n}中，.

（Ⅰ）求a₁,a₂,a₃,a₄；  （Ⅱ）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法加以證明.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）∵，∴，即a₁＝1………………………2分

∵，即a₁＋a₂＝4―a₂―1，∴a₃＝1，　　　 …………………………4分

∵，即a₁＋a₂＋a₃＝4―a₃―，∴a₃＝，……………………………6分

∵，即a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝4―a₄―，∴a₃＝，………………………8分

（Ⅱ）猜想         …………………………………………………………………10分

證明如下：①當n＝1時，a₁＝1，此時結論成立；   ………………………………………12分

②假設當n＝k（k∈N^*）結論成立，即，

那么當n＝k＋1時，有

 ,這就是說n＝k＋1時結論也成立.          

綜上所述，對任何n∈N^*時.            ………………………………………16分

注：其它解法應參照給分