Question

數列{a_n}中，a_n+1是函數fn(x)=

1

3

x3-

1

2

(an+3)x2+(an+2)x(n∈N*)的極小值點，且a₁=3，a_n＞0．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）記S_n為數列{a_n}的前n項和，試比較S_n與2ⁿ的大小關系．

Answer 1

分析：（1）利用函數的極值概念得到fn′(an+1)=an+12-(an+3)an+1+an+2=0，從而得到遞推關系式（a_n+1-1）（a_n+1-a_n-2）=0即a_n+1=a_n+2，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）Sn=n2+2n，當n=1，2，3，4，5時，n²+2n＞2ⁿ，猜想n≥6時，n²+2n＜2ⁿ，然后運用數學歸納法證明．

解答：解：（1）由題意得：fn′(an+1)=an+12-(an+3)an+1+an+2=0．…（1分）
∴（a_n+1-1）（a_n+1-a_n-2）=0，
∴a_n+1=a_n+2，
∵a₁=3，∴a_n=2n+1．…（3分）
（2）Sn=

n(3+2n+1)

2

=n2+2nb，當n=1，2，3，4，5時，n²+2n＞2ⁿ…（1分）
猜想n≥6時，n²+2n＜2ⁿ…（1分）
下用數學歸納法證明
①當n=6，左邊=6²+2×6=48＜右邊=2⁶=64，成立．
②假設當n=k（k≥6）時不等式成立，即k²+2k＜2^k，…（1分）
那么2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），
即當n=k+1時，不等式也成立，…（2分）
由①、②可得：對于所有的n≥6（n∈N^*）都有n²+2n＜2ⁿ成立．…（1分）

點評：本題考查函數的極值，考查等差數列的判定與通項的求解，考查大小比較，考查數學歸納法的運用，確定數列的通項是關鍵．