Question

過定點A(-2,-1)，傾斜角為45°的直線與拋物線y=ax²交于B、C兩點，且|BC|是|AB|、|AC|的等比中項，求拋物線方程.

Answer 1

解析:設A（-2，-1）、B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在x軸上

的射影分別為Ａ′（-2，0）、B′（x₁，0）、C′（x₂，0）.

∵|BC|²=|AB|·|AC|，

∴|B′C′|²=|A′B′|·|A′C′|.

于是有|x₁-x₂|²=（x₁+2）（x₂+2）.①

直線AC的方程為y=x+1,代入y=ax²并整理得ax²-x-1=0.?

∴x₁+x₂=1a，x₁x₂=-1a.②

把②代入①得a=1或a=-.

當a=1時，方程ax²-x-1=0根的判別式Δ＞0；?

當a=-時，Δ=0，B、C重合，不合題意，舍去

∴拋物線方程為y=x²．