Question

如圖，拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，準線與圓相切．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知直線和拋物線交于點，命題P：“若直線過定點，則”，請判斷命題P的真假，并證明。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）命題P為真命題

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意，可設拋物線的方程為，

其準線的方程為.           

∵準線與圓相切，

∴所以圓心到直線的距離，解得.

故拋物線的方程為:． 

（Ⅱ）命題P為真命題

因為直線和拋物線交于點且過定點，所以直線的斜率一定存在

設直線，交點聯立拋物線的方程，

得 恒成立           

由韋達定理得        

，所以命題P為真命題 

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；恒過定點的直線；拋物線的標準方程．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關系判斷，做題時要認真分析，避免不必要的錯誤．