Question

 [2012·四川卷] 如圖1－3，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內，過點O作平面α的垂線交半球面于點A，過圓O的直徑CD作與平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點為B，該交線上的一點P滿足∠BOP＝60°，則A、P兩點間的球面距離為(　　)

A．Rarccos  B.

C．Rarccos  D.

圖1－3

Answer 1

A　[解析] 由已知，OA⊥CD，又B點到平面α的距離最大，即B點在半圓CBD的最高點，即半圓弧CBD的中點，于是BO⊥CD，于是CD⊥平面AOB，進而平面CBD⊥平面AOB，

且∠AOB為二面角A－CD－B的平面角，該角等于平面BCD與α所成二面角的余角，為45°，

于是由公式cos∠AOP＝cos∠AOBcos∠BOP＝·＝，即∠AOP＝arccos，

故A、P兩點間的球面距離為Rarccos.